NÚMEROS SURREALES

“Los números surreales se obtienen de los juegos. Me sentía culpable en Cambridge cuando me pasaba todo el día jugando, cuando se suponía que tenía que hacer matemáticas. Luego, cuando descubrí los números surreales me di cuenta que jugar es hacer matemáticas” (John Horton Conway)

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La Teoría de Conway
Introducción

Los números surreales constituyen un sistema numérico generalizado:

• Incluye a los números reales (enteros, racionales e irracionales).
  
  
• Incluye a los números hiperreales de Robinson.
  
  
• Tienen estructura recursiva, es decir, un número surreal incluye surreales, superando así las limitaciones en la representación de los números convencionales.
  
  
• Permite representar los infinitésimos y los infinitos (incluyendo los transfinitos de Cantor) y además operar con ellos como con los números reales. Por ejemplo, es posible calcular log(ω), 1/ω, ω/2, −ω, ε/2, etc. (ω es el símbolo utilizado para el primer ordinal transfinito de Cantor, y ε es el símbolo de infinitésimo).
  
  
• Cada número real está rodeado de infinitos surreales.

Estructura

Un número surreal se define recursivamente como un número intermedio entre dos conjuntos de números, que son también surreales.

Un número surreal tiene la estructura siguiente: {L | R}, siendo L (left) y R (right) dos conjuntos de números surreales, de tal forma que todo número de L es menor que todo número de R. L y R pueden ser el conjunto vacío ∅.

• Si L y R no son ambos ∅, {L | R} representa el número intermedio más simple entre el número mayor de L y el número menor de R.
  
  Ejemplo: {1, 3, 4 | 6 , 7}
  
  
• {∅ | R} = {| R} representa el número menor más simple que todo número de R.
  
  Ejemplo: {|6, 7}
  
  
• {L | ∅} = {L |} representa el número mayor más simple que todo número de L.
  
  Ejemplo: {−1, 0 |}
  
  
• {∅ | ∅} = {|} = 0 representa el primer número surreal y “padre” de todos los surreales.

Número “más simple” se define de la manera siguiente:

• 0 es el número más simple que existe.
  
  
• Los siguientes más simples son −1 y 1. Luego −2 y 2, etc.
  
  
• Si no existe un número entero intermedio entre a y b, el número más simple es de la forma m/2ⁿ, con la menor potencia de 2 posible en el denominador. Por ejemplo, el número más simple entre 1 y 3 es 2, entre −1 y −3 es −2, entre 0 y 1 es 1/2, entre 1 y 3 es 3/2, etc.

Características

• La flexibilidad de representación es una característica importante de los números surreales. En efecto, en un número {L | R} se pueden eliminar todos los miembros de L excepto el mayor, y también se pueden eliminar todos los miembros de R excepto el menor, pues todas son diferentes representaciones del mismo número. Por ejemplo,
  
  {1, 2, 3 | 4, 5, 6} = {2, 3 | 4, 5} = {3 | 4}
  
  También se podrían añadir números menores en L y mayores en R y el número sería el mismo. Por ejemplo:
  
  0 = {|} = {−1|} = {−1 | 1} = {−2 | 1} = {|1, 2, 3, 4}
  
  
• En el conjunto de los surreales existe una relación de orden: para todo par de números surreales a y b, se cumple la ley de tricotomía (a<b ó a=b ó a>b).
  
  Un número surreal a = {A_L | A_R} es menor que otro b = {B_L | B_R} si todo número de A_L es menor que b y a es menor que todo número de B_R. La definición, en este caso, también es recursiva.

Generación de los surreales

Los números surreales se generan a partir de 0 = {|}, en sucesivas generaciones:

1. La generación 1 (los hijos de 0) es:
   
   {0|} = 1 {|0} = −1 ({0 | 0} no es un surreal válido)
   
   y la población (ordenada) es de 3 elementos: −1 < 0 < 1
   
   
2. En la generación 2 hay 16 configuraciones posibles de números surreales (al combinar en los lados izquierdo y derecho ∅, −1, 0 y 1), pero solo hay 4 nuevos:
   
   2 = {1|} −2 = {|−1} 1/2 = {0 | 1} −1/2 = {−1 | 0}
   
   y la población (ordenada) es de 6 elementos:
   
   −2 < −1 < −1/2 < 0 < 1/2 < 1
   
   
3. En la generación 3 hay 8 nuevos:
   
   3 = {2|} −3 = {|−2} 3/2 = {1 | 2} −3/2 = {−2 | −1}
   
   1/4 = {0 | 1/2} −1/4 = {−1/2 | 0} 3/4 = {1/2 | 1} −3/4 = {−1 | −1/2}
   
   y la población (ordenada) es de 15 elementos:
   
   −3 < −2 < −3/2 < −1 < −3/4 < −1/2 < −1/4 < 0 < 1/4 < 1/2 < 3/4 < 1 < 3/2 < 2 < 3

En general, en la generación n se crean 2ⁿ nuevos números y el total de la población contiene 2ⁿ⁺¹ − 1 miembros. Todos los números son fracciones diádicas, es decir, del tipo m/2ⁿ, con n ≥ 0. Esto quiere decir que fracciones como 1/3, 4/3, 1/5, etc. no pueden generarse, pero se pueden representar mediante números tan próximos como se desee, pero nunca los números exactos.


Suma de surreales

La suma de a = {A_L | A_R} y b = {B_L | B_R} se define de forma recursiva:

a+b = {A_L+b, a+B_L | A_R+b, a+B_R}

con las reglas siguientes:

1. La suma de un elemento a un conjunto L o R de un número surreal se realiza distribuyendo la suma: x+{a, b, c} = {x+a, x+b, x+c}
   
   
2. La suma de dos conjuntos se realiza mediante distribución completa. Por ejemplo:
   
   {1, 2}+{10, 20, 30} = {11, 12, 21, 22, 31, 32}
   
   
3. Suma y resta del conjunto vacío:
   
   x+∅ = ∅ y x−∅ = ∅ (para todo x)

El negativo de un número surreal x (−x) se define como el resultado de multiplicar −1 a cada uno de los componentes de x. La resta se define como x−y = x+(−y).

Ejemplos:

1+1/2 = {0 | ∅}+{0 | 1} = {0+1/2, 1+0 | ∅+1/2,1+1} = {0+1/2, 1+0 | 1+1}

0+1/2 = {∅ | ∅}+{0 | 1} = {∅+1/2, 0+0 | ∅+1/2, 0+1} = {0+0 | 0+1}

Análogamente, 0+0 = 0 y 0+1 = 1. Luego 0+1/2 = {0 | 1} = 1/2

Por lo tanto, 1+1/2 = {0+1/2, 1+0 | 1+1} = {1/2,1 | 2} = {1 | 2} = 3/2


Producto de surreales

El producto de a = {A_L | A_R} y b = {B_L | B_R} se define también de forma recursiva:

ab = {A_Lb + a + B_L − A_LB_L, A_Rb + a + B_R − A_RB_R | A_Lb + a + B_R − A_LB_R, A_Rb + a + B_L − A_RB_L}

Propiedades

Se demuestra que:

xy = yx
x(y+z) = xy+xz
1x = x1 = x
0x = x0 = 0

Cada número x (excepto 0) tiene su inverso, de tal manera que x(1/x) = 1

Los números surreales forman un grupo conmutativo (abeliano) respecto a la suma y también respecto al producto. Con ambas operaciones la clase de los números surreales forma un cuerpo.


Números racionales no diádicos y números irracionales

Los números racionales no diádicos son los que no tienen la forma m/2ⁿ. Los números racionales no diádicos y los números irracionales se especifican mediante conjuntos de infinitos elementos. Por ejemplo:

1/3 = {1/4, 5/16, 21/64, 85/256, … | 1/2, 3/8, 11/32, 43/128, …}

π = {3/1, 25/8, 201/64, … | 13/4, 101/32, 3217/1024, …}

La construcción de los números surreales guarda ciertas similitudes con las cortaduras (cuts) de Dedekind, que define un número irracional a partir de dos secuencias de números racionales.


Especificación de infinitos e infintésimos

Este es el aspecto más destacado de los surreales. He aquí algunos ejemplos:

1. ω = {N|} indica un número mayor que cualquier número entero y corresponde a ω, el primer ordinal transfinito de Cantor (N es el conjunto de los números naturales).
   
   
2. ω+1 = {N|} + {0|} = {N +1, ω+0 | ∅+1, ω+∅} = {N, ω|} = {ω|} puesto que N+1 = N y ω es mayor que todos los enteros.
   
   
3. ω+2 = {N |} + {1|} = {N +2, ω+1 | ∅+2, ω+∅} = {N +2, ω+1|} = {N, ω+1|} = {ω+1|} puesto que N +2 = N y ω es mayor que todos los enteros.
   
   
4. ω+3 = {ω+2|}
   
   
5. ω−1 = {N |} + {|0} = { N −1,ω+∅ | ∅−1, ω+0} = {N −1 | ω+0} = {N | ω}
   
   
6. ω−2 = {N | ω−1}
   
   
7. ω−3 = {N | ω−2}
   
   
8. ω+ω = {ω+N |}
   
   
9. 2ω = {ω+N |}
   
   
10. 3ω = {2ω+N |}
    
    
11. 4ω = {3ω+N |}
    
    
12. ω/2 = {N | ω−N}
    
    
13. ω² = {ω, 2ω, 3ω, 4ω, …|}
    
    li)ω^ω = {ω, ω² , ω³ , ω⁴ , …|}
    
    
14. −ω = {|N}
    
    
15. √ω= {N | ω, ω/2, ω/3, ω/4, …}
    
    
16. ε = {0 | 1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , …} (número infinitesimal)
    
    
17. ε+1 = {1 | 2, 3/2, 5/4, 9/8, 17/16, …}
    
    
18. 2ε = {ε | 1+ε, 1/2+ε, 1/4+ε, 1/8+ε, 1/16+ε, …}
    
    
19. ε/2= {0 | ε}
    
    
20. √ε= {ε, 2ε, 3ε, 4ε,… | 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …}
    
    
21. 1/ε = ω

Especificación en MENTAL
Los números surreales tienen un gran poder expresivo debido a que armoniza los opuestos. Sin pretender ser exhaustivo, he aquí algunas especificaciones de los surreales en MENTAL:


Representación de números surreales

Un número surreal lo podemos representar mediante una secuencia de 3 elementos: un conjunto L, un símbolo | y un conjunto R: (L | R) o simplemente L|R. Si L o R no existe, hay que especificar el conjunto vacío ∅ o su símbolo equivalente: {}.


Definición de surreales finitos

(∅|∅ = 0) // surreal padre

Expresión genérica que sustituye cada conjunto L y R de todo número surreal por un conjunto de un solo elemento: el máximo y el mínimo, respectivamente:

⟨( x|y =: ( (u = max(x)) (v = min(y)) ( u<v → ( ¡(u+v)÷2) ←' (v−u > 1) → ¡(u+1) ) ) )! )⟩

Ejemplos:

{-1 0}|{2 3} // ev. 1
{-1 0 1}|∅ // ev. 2
{∅|(2 3} // ev. 1
{1 2}|∅ // ev. 3
{12}|∅ // ev. 13
{1 2}|{1 3} // se autoevalúa (no es un surreal válido)

Definición de surreales infinitos

Habría que definir previamente una serie de axiomas. Ejemplos:

⟨( N+n = N )⟩
( ω = N|∅ )

A partir de estos axiomas, se pueden deducir teoremas. Por ejemplo:

⟨( ω+n = ω+n−1|∅ )⟩

Suma de números surreales

Definimos primero las leyes que gobiernan la suma de surreales y luego definimos la suma, de acuerdo con estas leyes:

⟨( x+∅ = ∅ )⟩ ⟨( x−∅ = ∅ )⟩ // suma y resta del conjunto vacío

⟨( (n+x = {[n+[x↓]]}) ← {x↓}=x )⟩ // distribución de la suma

⟨( (x+y = {[[x↓]+[y↓]]}) ← {x↓}=x ← {y↓}=x )⟩ // distribución completa

⟨( x1|x2 + y1|y2 = {(x1 + y1|y2) (x1|x2 + y1)}|{(x2 + y1|y2) (x1|x2 + y2)} )⟩

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Adenda
Orígen de los números surreales

Los números surreales fueron inventados (o descubiertos) por John Conway en 1969, inspirado por el juego del Go, un juego muy popular en China y Japón. El Go se denomina “Cercado” en español [Wang An-Po, 1970]. El juego tiene unas reglas muy simples, pero produce estructuras de gran complejidad de tipo recursivo.

La estructura de un número surreal es también recursiva. Su representación consta de dos partes, en analogía con los dos jugadores. Los números surreales válidos corresponderían con los movimientos permitidos del juego. Un número surreal concreto g={a, b, c, ...|d, e, f, ...} puede considerarse como una situación del juego entre dos jugadores, L y R., en donde a, b, c, ... son los movimientos posibles (legales) para L y d, e, f, ... son los movimientos legales para R. Suponiendo que L elija b, por ejemplo, se llega a otra configuración b={A, B, C, ...|D, E, F, ...}. Como ahora le toca jugar a R, puede elegir. por ejemplo, E, lo que conduce a otra configuración. Y así sucesivamente.

En 1972, Conway le contó a Donald Knuth este nuevo sistema numérico. Knuth quedó fascinado por su potencialidad y originalidad, y lo difundió en un pequeño relato titulado “Números Surreales”, de subtítulo “De cómo dos ex-estudiantes se dedicaron a la matemática pura y hallaron la felicidad total” [Knuth, 1974]. El propio Knuth bautizó a estos números como “surreales” (del francés “sur”, sobre), para indicar que son números que están “por encima” de los reales.

Conway es también autor del “juego de la vida”, un sistema que se desarrolla sobre un tablero, que se basa también en unas reglas muy simples y que produce configuraciones dinámicas complejas.

Los números surreales constituyen un universo matemático de grandes posibilidades, pero aún poco investigado. Tienen aplicación en teoría de juegos. Al tener estructura fractal, constituyen un sistema de representación adecuado para la interpretación de los “muchos mundos” (many worlds) de la física cuántica.


Número surcomplejo (surcomplex)

Un número surcomplejo es un número complejo a+b*i, en donde a y b son números surreales, e i es la unidad imaginaria. Los números surcomplejos forman un cuerpo, como los surreales.


Bibliografía

• Conway, John H. On Numbers and Games. Academic Press, 1976. [El libro principal de los números surreales].
  
  
• Conway, J.H.; Guy, R.K. The Book of Numbers. Springer-Verlag, 1996.
  
  
• Gardner, Martin. Los números surreales de Conway. Capítulo 4 de Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas. Editorial Labor, S.A., 1990.
  
  
• Gonshor, Harry. An Introduction to Surreal Numbers. Cambridge University Press, 1986. [Amplía la teoría de los números surreales. Utiliza una notación diferente].
  
  
• Knuth, Donald E. Surreal Numbers. Addisson-Wesley, 1974. Números surreales. Reverté, Barcelona, 1979.
  
  
• Knuth, Donald E. Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. Addisson-Wesley, 1974. Disponible online.
  
  
• Peterson, Ivars. Mathematical Treks. From Surreal Numbers to Magic Circles. The Mathematical Association of America, Spectrum Series, 2002.
  
  
• Tondering, Clams. Surreal Numbers – An Introduction. Internet.
  
  
• Wang An-Po, Ambrosio. El Cercado. Un milenario y fascinante juego chino. Editado por el autor, Madrid, 1970.